Базовая математика — обязательный предмет ЕГЭ, который ежегодно сдают все российские школьники. Для того, чтобы получить школьный аттестат, вполне достаточно минимального балла по базовой математике, а вот для поступления в вуз может потребоваться экзамен по профильной математике. Минимальный балл, который необходимо набрать для получения аттестата — 23. Чтобы поступить в вуз, понадобится не менее 27 баллов. Рассмотрим демовариант ЕГЭ по математике 2019 и разберем некоторые из этих заданий.
Задание №1
Это задание основано на проверке простейших математических навыков: сложение, вычитание, деление, умножение, а также действия десятичными дробями и перевод одних единиц измерения в другие.
Пример задачи
В 23.50 минут по московскому времени из Санкт-Петербурга в Москву выехал поезд. В Москву он приехал на следующие сутки в 7 часов 50 минут. Необходимо вычислить, какое количество времени поезд был в пути.
Решение
Зная о том, что в сутках всего 24 часа, и их начало приходится на 00:00, а конец — на 24 часа, вычисляем: в первые сутки поезд находился в пути десять минут, во вторые — 7 часов и 50 минут.
7 ч. 50 мин. + 0 ч. 10 мин. = 7 ч. 60 мин. или 8 часов
Задание №2
Задание проверяет, насколько хорошо выпускники умеют интерпретировать различные таблицы, графики и диаграммы, а также совершать с их помощью простейшие вычисления. Как правило, речь идет об анализе графика функции и поиске наибольших и наименьших значений.
Пример задачи
В задаче представлен график, отображающий среднюю температуру Сочи за каждый месяц 1920 года. Необходимо определить, сколько месяцев в году температура была выше 18 градусов Цельсия.
Решение
Для того, чтобы найти правильное решение, необходимо провести горизонтальную линию от точки с цифрой 18 (указана температура в градусах Цельсия). Таким образом станет очевидно, что такая температура держалась 4 месяца подряд: в июне, июле, августе и сентябре.
Задание №3
Школьники должны продемонстрировать знание основ планиметрии, а именно: уметь вычислять площадь фигур, рассчитывать градусные меры углов, диаметры и находить другие значения. Например, найти площадь треугольника, начерченного на бумаге с размером клеток 1х1. В этом задании важно продемонстрировать знание формул и умение пользоваться различными способами решения задачи.
Задание №4
Задача из курса “Теория вероятностей и статистика”. Выпускникам предлагается высчитать вероятность того или иного события, произошедшего в повседневной ситуации.
Пример задачи
Ученикам предложено выучить 25 билетов по биологии. Лишь два из них содержат вопрос о грибах. Каждому школьнику предстоит ответить лишь на один билет. Вычислите вероятность того, что вопрос о грибах будет содержаться именно в этом билете.
Решение
Вероятность события можно рассчитать по формуле Р(А) = m/n, где m — количество благоприятных исходов, а n — общее их количество. 25 билетов означают 25 исходов, 2 из которых — благоприятные. Значит, вероятность равна 2/25, то есть 0,08.
Задача №5
Здесь проверяется умение решать уравнения, находить неизвестные, извлекать корни и т. д.
Пример задачи
Найти корень уравнения 3x-5 = 81
Решение
3х-5 = 34
х-5 = 4
х = 9
Задание №6
Здесь необходимо продемонстрировать умение моделировать различные ситуации при помощи геометрических понятий. Важно знание теорем, умение определять длину, градус угла и другие величины.
Пример задачи
Треугольник с углами А, B и С вписан в окружность с центром О. Угол BAC — 32 градуса. необходимо найти угол BOC.
Решение
COB — центральный угол, равный дуге CB
САВ — вписанный угол, равный ½ дуги СВ
Значит, САВ = ½ СОВ. Так как ½ угла СОВ равна 32 градусам, то угол СОВ равен 64о
Ответ: 64о
Задача №7
Выпускник должен продемонстрировать знание понятия “функция” и умение выполнять с ним различные действия: руководствуясь графиком, описывать свойства и поведение функции; находить наибольшие и наименьшие значения; самостоятельно строить графики.
Пример задачи
На графике дифференцируемой функции y = f(x) на оси абсцисс отмечены девять точек. Необходимо найти все точки, в которых производная функции f(х) отрицательна.
Решение
Необходимо проследить, в каких местах графика убывает функция: именно там ее производная будет отрицательна. Всего на этом графике 4 таких точки.
Задача №8
Задачи на знание основ стереометрии, простейших геометрических понятий и умение использовать при решении стереометрических задач планиметрические методы.
Пример задачи
В условии даны два цилиндрических сосуда. Уровень жидкости в первом достигает 16 сантиметров. Всю жидкость перелили во второй сосуд, диаметр которого дважды превышает диаметр основания первого. Необходимо определить уровень жидкости во втором сосуде.
Решение
Для вычисления объема цилиндра следует воспользоваться этой формулой: V = πR2H, где R — это радиус цилиндра, а Н — его высота. Так как уровень жидкости поднимается до 16 см, значит, высота также равна 16.
V = πR2H = πR216
Зная о том, что диаметр второго сосуда в два раза больше первого, мы можем сделать вывод, что радиус второго сосуда в два раза больше первого (2R). Вычисляем объем жидкости во втором сосуде: V = π(2R)2h или V = 4R2h
При переливании жидкости из одного сосуда в другой ее объем не изменился.
πR216 = π4R2h
4h = 16
Задача №9
В этом разборе задания очень важно уметь выполнять простейшие вычисления и преобразования, поэтому знание формул просто необходимо.
Пример задачи
Необходимо найти sin2α, если учесть, что cosα = 6, а π < α < 2π
Решение
sin2α = 2sinα х cosα
(sinα)2 + (cosα)2 = 1
(sinα)2 + (0,6)2 = 1
(sinα)2 = 1 — 0,36
(sinα)2 = ±0,8
sinα = –0,8
sin2α = 2 х (–0,8) х (0,6)
sin2α = –0,96
Задача №10
Здесь выпускники демонстрируют умение решать прикладные задачи социально-экономической и физической направленности. Необходимо знать и уметь пользоваться формулами, быть точным в расчетах и внимательным при записи ответа.
Пример задачи
В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий̆ первым, окажется из России.
Решение
Вероятность определяется, как количество положительных вариантов к количеству всех вариантов. Например, у вас есть 10 монеток и только 2 из них — десятирублёвые, то если вы возьмёте одну монетку, вероятность того, что она будет десятирублёвой, составит 
В нашей задаче 35 спортсменов, из которых 7 — из России.
Значит, вероятность того, что первый спортсмен будет из России, составляет:
Ответ: 0.2.
Задача №11
Текстовые задачи с чуть более сложными условиями нужны для того, чтобы экзаменуемый продемонстрировал не только свои знания, но также аналитические способности и умение мыслить логически.
Пример задачи
На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 5 по 28 марта 1996 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена золота на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.
Решение
Из графика видно, что наименьшей цена была 6 марта.
Ответ: 6.
Задача №12
12 задача из демоверсии ЕГЭ по математике базового уровня посвящена теме “экстремум”. Здесь необходимо найти производную функции и ее критические точки.
Пример задачи
Турист подбирает себе экскурсионную программу. Сведения о некоторых музеях и парках, подготовленные туристическим бюро, представлены в таблице.
Пользуясь таблицей, подберите экскурсионную программу так, чтобы турист посетил не ме-нее трёх достопримечательностей за один день.
В ответе для подобранной программы укажите номера экскурсий без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
У туриста всего 10 часов. Если он выберет шестую экскурсию, то на третью экскурсию времени уже не хватит, а вот если выберет пятую, то вполне успевает и на первую. Та-ким образом, 5 и 1.
При выборе четвертой успевает только на вторую. Таким образом, 4 и 2. При выборе третьей посмотреть три достопримечательности никак не успеет.
Ответ: 1 и 5 или 2 и 4.
Задача №13
Задания из этого раздела демо-варианта ЕГЭ проверяют знание стереометрии. Необходимо знать формулы нахождения площадей разных фигур: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды, куба, цилиндра и т. д.
Пример задачи
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка OS.
Решение
Отрезок OS высотой треугольной пирамиды SABC, ее объем выражается формулой
Значит,
Ответ: 6.
Задача №14
Для решения этого задания стоит повторить свойства функций. Необходимо знать, что такое область определения и область значений, экстремальные значения, убывание и возрастание.
Пример задачи
На диаграмме показано количество запросов со словом СНЕГ, сделанных на поисковом сайте Yandex.ru во все месяцы с марта 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество запросов за данный месяц.
Пользуясь диаграммой, установите связь между промежутками времени и характером изме-нения количества запросов.
|
ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ |
ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЗАПРОСОВ |
|
А) Весна 2008 года |
1) Количество запросов резко снижалось |
|
Б) Лето 2008 года |
2) Количество запросов заметно увеличивалось |
|
В) Осень 2008 года |
3) Количество запросов практически не менялось |
|
Г) Зима 2008-2009 года |
4) Количество запросов плавно снижалось |
Решение
Весной 2008 года количество запросов падало примерно со 120 000 до 100 000.
Летом 2008 года количество запросов изменялось примерно с 82 000 до 80 000.
Осенью 2008 года количество запросов возрастало примерно со 115 000 до 283 000.
Зимой 2008 года количество запросов падало с 500 000 до 280 000.
Таким образом, получаем следующее: A — 4, Б — 3, В — 2, Г — 1.
Ответ: 4321.
Задача №15
Еще одна задача по планиметрии, для решения которой необходимо повторить формулы нахождения площади фигур на плоскости. и основные теоремы.
Пример задачи
В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB, равна 4, AD=8. Найдите синус угла B.
Решение
Ответ: 0,5.
Задача №16
Задача на знание стереометрии. Для ее решения необходимо разбираться в типах пространственных фигур, знать их элементы, а также основные формулы: объем, площадь поверхности и т. д.
Пример задачи
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Решение
Площадь основания конуса равна Sосн = πr2, а площадь боковой поверхности Sбок = πrl. Из условия имеем:
Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и ра-диусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла 30°. Значит, угол между образующей конуса и плоскостью осно-вания равен 60°.
Задача №17
Решение простейших неравенств. В этом задании необходимо составить математическую модель и прописать, что является здесь переменной x, p и переменной z. Даже если само уравнение решить не получится, за правильно составленную задачу вы сможете получить один балл.
Пример задачи
На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D.
Число m равно log54.
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответ-ствие между указанными точками и числами.
ТОЧКИ ЧИСЛА
А) A
Б) B
В) C
Г) D
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Ответ: 2431.
Задача №18
Выпускникам предлагается решить задачу с параметром, в которой необходимо будет проявить аналитические способности и владение логикой.
Пример задачи
Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, пёс Шарик, живущий в будке возле дома, обязательно лает. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
1) Если Шарик не лает, значит, по забору идёт кошка.
2) Если Шарик молчит, значит, кошка по забору не идёт.
3) Если по забору идёт чёрная кошка, Шарик не лает.
4) Если по забору пойдёт белая кошка, Шарик будет лаять.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Согласно условию, если кошка идёт по забору, то Шарик лает. Рассмотрим предложенные утверждения:
- Если Шарик не лает, значит, по забору идёт кошка — неверно, так как, если кошка идёт, то Шарик обязательно лает.
- Если Шарик молчит, значит, кошка по забору не идёт — верно, так как, если молчит — значит, никакая кошка не идет.
- Если по забору идёт чёрная кошка, Шарик не лает — неверно, так как, если любая кошка идет по забору — Шарик лает.
- Если по забору пойдет белая кошка, Шарик будет лаять — верно, согласно условию.
Задача №19
Чтобы решить задание под номером 19 по математике базового уровня, необходимо владеть следующими понятиями: числа и их свойства, числовые последовательности и прогрессии, признаки делимости чисел. В самом задании выпускникам для разбора будет предложена задача.
Пример задачи
Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится на 16.
Решение
Разложим число 25 на слагаемые: 25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.
Квадрат числа делится на 16, значит, само число делится на 4. Это значит, что оно заканчивается на чётную цифру. То есть первый набор отпадает, так как в нём нет четных чисел. Из второго мы можем составить числа 988 и 898. Первое число походит по условия задачи.
Ответ: 988.
Задача №20
Одно из самых интересных заданий заставляет задействовать не только логику, но и смекалку: правильный ответ необходимо найти при помощи рассуждений и внимательного отношения к каждой детали.
Пример задачи
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Решение
Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий — 14. Если распилить палку по желтым — 5 кусков, следовательно, линий — 4. Если распилить по зеленым — 7 кусков, линий — 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии, следовательно, кусков будет 25.
Ответ: 25.
Таким образом видим, что разбор заданий для подготовки к ЕГЭ не представляет особых трудностей: при желании к экзамену можно как следует подготовиться и сдать его на максимально высокие баллы.
